Permütasyon

Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak üzere n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı r lilerine A kümesinin r li permütasyonları denir.

n elemanlı A kümesinin r li permütasyonlarının sayısı P (nr) = n! /(n-r)! formülü ile bulunur.

Örnek: Farklı renkte 7 mendilin 3 ü bir öğrenciye 1 mendil verilmek şartıyla 3 öğrenciye kaç farklı şekilde verilebilir?
Çözüm : A kümesi mendiller kümesi olur. Eleman sayısı 7 ' dir. n = 7 üç mendil dağıtılacak. r = 3 olur. Bu mendiller ;
P( 7 3) = 7! / ( 7 - 3 )! = 7.6.5.4! / 4! = 7.6.5 = 210 farklı şekilde dağıtılabilir.
Uyarı :
i. n elemanlı bir kümenin nli permütasyonlarının sayısı
Yani P(nn) = n.(n-1)......1 = n! dir.
ii. n elemanlı bir kümenin 1 li permütasyonlarının sayısı P (n1) = ndir.
iii. Permütasyonla çözülebilen problemlerin çarpmanın kuralıyla da çözülebileceğine ; ancak çarpma kuralıyla çözülebilen her problemin permütasyonla çözülemiyeceğine dikkat ediniz.
Örnek: 5 Bay ve 3 bayan yan yana sıralanacaktır.
a)Bu 8 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
b)Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
c)Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm :
a)8 Kişi yan yana 8! farklı şekilde sıralanır.
b)Bayanlar 1 kişi gibi düşünülürse 6 kişinin sıralanışı söz konusu olur. 6 kişi yan yana 6! farklı şekilde sıralanır ayrıca bayanlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanır. Buna göre bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla 6!. 3! farklı şekilde sıralanabilir.
c)Mümkün olan bütün sıralanışların sayısı 8! ve bayanların 3ünün yan yana geldiği sıralanışların sayısı 6!. 3! Olduğu için bayanların 3ünün yan yana gelmediği sıralanışların sayısı 8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6!. 3.2.1 = 6! (56-6) = 50.6! olur.
Dönel (dairesel) sıralama :
Tanım : n tane farklı elemanındaire şeklinde bir yere sıralamasına n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yanyana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur.
Örnek: 7 kişilik bir heyet bir masa etrafında oturacaktır.
a)Bu heyet yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
b)Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir?
c)Heyet başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler?
Çözüm :
a)7 kişi yuvarlak masa etrafında (7-1)! = 6! farklı şekilde oturabilir.
b)Bu heyet düz bir masa etrafında 7! farklı şekilde oturabilir.
c)Başkan ve yardımcısını bir kişi gibi düşünelim. Bu durumda 6 kişinin yuvarlak masa etrafında oturması sözkonusu olur. 6 kişi yuvarlak masa etrafında (6-1)! = 5! farklı şekilde oturabilir. Ayrıca başkan ve yardımcı aralarında 2! değişik şekilde oturabilir. Buna göre heyet başkan ve yardımcı yan yana gelmek şartıyla 5!. 2! farklı şekilde oturabilir.
Tekrarlı permütasyonlar :
Tanım : n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeşitten n2 tanesi 2. çeşitten ....... nr tanesi de r. çeşitten olsun.
n= n1+ n2+ ........... + nr olmak üzere bu n tane nesnenin nli permütasyonlarının sayısı
(n1 n2 ... nr ) = n! / n1!.n2!...nr dir.
Örnek: BABACAN sözcüğünün harfleriyle 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm : 2 tane B harfi olduğu için n1 = 2
3 tane A harfi olduğu için n2 = 3
1 tane C harfi olduğu için n3 = 1 ve bir tane N harfi olduğu için
n4 = 1 olsun. Buna göre farklı sözcüklerin sayısı
(2311) = 7! / 2!.3!.1!.1! = 7.6.5.4.3.2.1 / 2.1.3.2.1.1 = 420 dir.