İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR

Tanım : a b c  R ve a  0 olmak üzere;

y = ax2 + bx + c

biçiminde tanımlanan fonksiyonlara ikinci dereceden fonksiyonlar denir. x değişkeni R (gerçek sayılar kümesi) den seçilirse R den R ye bir ikinci derece fonksiyonu elde edilir.

Böyle bir fonksiyon;

biçimlerinden biri ile gösterilir.

ÖRNEKLER:

1. R den R ye f(x) = 3x2 - 2x + 4 eşitliği ile tanımlanan fonksiyon ikinci dereceden bir fonksiyon olup
a = 3 b = - 2 ve c = 4 tür.

2. f: RR f: x9x2 – 2 fonksiyonu ikinci dereceden bir fonksiyon olup
a = 9 b = 0 ve c = -2 dir.

İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ

y = ax2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğine (eğrisine) PARABOL denir. Denklemi verilen bir parabolü analitik düzlemde gösterebilmek (çizebilmek) için yapılması gereken işlemleri aşağıdaki gibi sıralayabiliriz.

1. Tepe noktasının koordinatları bulunur.
2. Grafiğin varsa koordinat eksenlerini kestiği noktalar bulunur.
3. Değişim tablosu düzenlenir.
4. Değişim tablosundan yararlanarak belirlenen noktalar analitik düzlemde işaretlenir ve grafik çizilir.

TEPE NOKTASININ KOORDİNATLARINI BULMA

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin (parabolün) tepe noktasını tanımlamadan önce aşağıdaki örneği inceleyelim.

ÖRNEK : y = x2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

y = x2 fonksiyonuna ait olan grafik;
x = -2 için y = (-2)2 = 4 olduğundan grafik (-2 4) noktasından
x = -1 için y = (-1)2 = 1 olduğundan grafik (-1 1) noktasından
x = 0 için y = (0)2 = 0 olduğundan grafik (0 0) noktasından
x = 1 için y = 12 = 1 olduğundan grafik (1 1) noktasından
x = 2 için y = 22 = 4 olduğundan grafik (2 4) noktasından
geçer.

Bulunan bu noktalardan yararlanarak fonksiyonun değişim tablosunu düzenleyelim.

x gerçek sayıları (-) dan sıfıra kadar artan değerler aldığında y = x2 fonksiyonu (+) dan sıfıra kadar azalır.

x sıfırdan (+) a doğru artmaya devam ettiğinde y = x2 fonksiyonu da sıfırdan (+) a artarak gider.

Grafiğin döndüğü nokta (0 0) noktasıdır. Bu nokta y = x2 parabolünün tepe noktası dır.

y = x2 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

y = x2 nin değişim tablosunu incelerseniz x  1 için y = 1 ve x =  2 için y = 4 olduğunu görürsünüz. (-1 1) ile (1 1) ve (-2 4) ile (2 4) noktaları 0y eksenine göre simetrik noktalardır.

O halde 0y ekseni (x = 0 doğrusu) y = x2 fonksiyonunun grafiğinin simetri eksenidir.

fonksiyonlarının grafikleri aşağıda çizilmiştir inceleyiniz.

y = ax2 parabolünde;
• a > 0 ise parabolün kolları yukarı doğru
• a < 0 ise parabolün kolları aşağı doğru
• a mutlak değerce büyüdükçe parabolün kolları y eksenine yaklaşır.
• a mutlak değerce küçüldükçe parabolün kolları y ekseninden uzaklaşır.
• x = 0 doğrusu (0y ekseni) parabolün simetri eksenidir.

Şimdi de y = ax2 + bx + c fonksiyonuna ait grafiğin tepe noktasının bileşenlerini bulalım.

y = ax2 + bx + c fonksiyonu
(Bu eşitliği daha önceki bölümlerde göstermiştik)
biçiminde yazılabilir. Bu eşitlikte dır.

a > 0 ise ifadesi en küçük sıfır değerini alabilir. Buna göre; değerine fonksiyonun görüntü kümesinin en küçük değeri ya da minimumu denir.

a < 0 ise ifadesi en büyük sıfır değerini alabilir. Buna göre; değerine fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri ya da maksimumu denir.

(I) eşitliğinde alınırsa bu ifade y = a(x – r)2 + k biçimine dönüşür.

O halde; y = ax2 + bx +c fonksiyonunun grafiğinin apsisi ; r = ordinatı olan noktasına parabolün tepe noktası denir.

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası;

ÖRNEKLER

1. y = 2x2 – x + 1 fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının bileşenlerini bulalım.

Verilen fonksiyonda; a = 2 b = -1 ve c = 1 dir.

O halde tepe noktası dir.

2. y = 6x2 fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının bileşenlerini bulalım.

Verilen fonksiyonda a = 6 b = 0 ve c = 1 dir.

O halde tepe noktası T(0 0) dır.

3. y = 2x2 + 4 fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının bileşenlerini bulalım.

Verilen fonksiyonda a = 2 b = 0 ve c = 4 tür.

O halde tepe noktası T(04) tür.

Fonksiyonlar aşağıdaki biçimde verildiğinde tepe noktasını bulmak için işlem yapmaya gerek yoktur.

1. y = ax2 parabolünün tepe noktası T(0 0) dır.
2. y = ax2 + c parabolünün tepe noktası T(0. c) dir.
3. y = a(x – r)2 parabolünün tepe noktası T(r. 0) dır.
4. y = a(x – r)2 + k parabolünün tepe noktası T(r. K) dır.

İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GÖSTERDİĞİ EĞRİNİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARI BULMA

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun gösterdiği eğrinin (parabolün) eksenleri kestiği noktaları bulalım.

Parabolün y eksenini kestiği noktanın apsisi sıfır olacağından x = 0 alınırsa
y = a.02 + b.0 + c = c olur.

O halde parabolün y eksenini kestiği nokta (0. c) noktasıdır.

Parabolün x eksenini kestiği noktaların ordinatları sıfır olacağından y = 0 alınırsa
0 = ax2 + bx + c denklemi elde edilir.

Bu denklemin kökleri x1 ve x2 ise parabolün x eksenini kestiği noktalar;(x10) ve(x20) olur.

ÖRNEKLER

1. y = x2 – 4 parabolün eksenleri kestiği noktaları bulalım.

x = 0 için y = 02 – 4 = -4
O halde parabolün y eksenini kestiği nokta (0 -4) tür.
y = 0 için 0 = x2 – 4  x2 = 4  x1 = -2 v x2 = 2
O halde parabolün x eksenini kestiği noktalar; (-2 0) ve (2 0) dır.

2. y = 2x2 + 8 parabolünün varsa eksenleri kestiği noktaları bulalım.

x = 0 için y = 2.02 + 8 = 8 olduğundan y eksenini kestiği nokta (0. dir.
y = 0 için 0 = 2x2 + 8  2x2 = -8  x2 = - 4 gerçek kök yoktur.
O halde parabolün x eksenini kestiği noktası yoktur.

3. y = x2 – 3x + 2 parabolünün eksenlerini kestiği noktaları bulalım.

x=0 için y=02–3.0 + 2 = 2 olduğundan parabolün y eksenini kestiği nokta (0 2) dir.
y = 0 için x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) (x – 1) = 0  x1 = 2 v x2 = 1 olduğundan parabolün x eksenini kestiği noktalar (2 0) ile (1 0) dır.

4. y = (x – 1)2 – 4 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.

x = 0 için y = (0 – 1)2 – 4 = 1 – 4 = -3 olduğundan parabolün
y eksenini kestiği nokta (0. –3) tür.
y = 0 için (x – 1)2 – 4 = 0  (x – 1)2 = 4
x1 = 2 + 3 = 3
 x – 1 = 2
x2 = -2 + 1 = -1

O halde grafiğin x eksenini kestiği noktalar; (-1 0) ile (3 0) dır.

y = ax2 + bx + c FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun biçimine dönüştürülebildiğini ve tepe noktasının olduğunu göstermiştik.

Ayrıca bu fonksiyonun x eksenini; (x1 0) ve (x2 0) noktalarında y eksenini de (0 c) noktasında kestiğini bulmuştuk.

Elde ettiğimiz bu bilgilere göre fonksiyonun değişim tablosunu düzenleyelim.

Tablodan da görüldüğü gibi x değişkeni (-) dan ya kadar artan değerler aldığında ifadesi (+) dan sıfıra doğru azalacağından y fonksiyonu da (+) dan ya kadar azalır.

x değişkeni dan (+) a doğru artan değerler aldığında y fonksiyonu da dan (+) a doğru artar.

Bu nedenle y = ax2 + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibi çizilir.

Tablodan görüldüğü gibi x değişkeni (-) dan ya kadar artan değerler aldığında ifadesi (+) dan sıfıra doğru azalacağından y fonksiyonu da (-) dan ya kadar artar. x değişkeni dan (+) a kadar artan değerler aldığında y fonksiyonu da dan (-) doğru azalır.

O halde y = ax2 + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibidir.

ÖRNEKLER

1. y = x2 – 4x + 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen fonksiyonda a = 1 b = -4 ve c = 3 tür.
Tepe noktasının koordinatları;
olduğundan tepe noktası T(2 -1) dir.
Eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını bulalım.
x = 0 için y = 02 – 4.0 + 3 = 3  y eksenini kestiği nokta (0 3) olur.
y = 0 için x2 – 4x + 3 = 0 denkleminin kökleri x1 = 3 x2 = 1 olduğundan x eksenini kestiği noktalar (1 0) ve (3 0) bulunur.

Elde ettiğimiz bilgilerden yararlanıp değişim tablosu yaparak grafiği çizelim.

2. y = -x2 + x + 2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen fonksiyonda a = -1 b = 1 ve c = 2 dir.
Tepe noktasının koordinatları;
olduğundan tepe noktası olur.

x = 0 için y = 2 dir. O halde y eksenini kesen nokta (0 2) dir.
y = 0 için -x2 + x + 2 = 0  x2 – x – 2 = 0  (x – 2) (x + 1) = 0
 x1 = 2 v x2 = -1 dir.

O halde x eksenini kestiği noktalar; (2 0) ve (-1 0) dır.
Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.

3. y = x2 – 4 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

1. YOL: Verilen fonksiyonda a = 1 b = 0 ve c = -4 tür.
Tepe noktasının koordinatları;
olduğundan tepe noktası T(0. 4) olur.

x = 0 için y = -4 olduğundan grafik y eksenini (0 -4) noktasında keser.
y = 0 için x2 – 4 = 0  x2 = 4  x1 = 2 v x2 = -2 olduğundan grafik x eksenini (-2 0) noktalarında keser.

Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.

y = ax2 + c biçiminde ifade edilen fonksiyonların grafiklerinin tepe noktası T(0 c) dir. Bu nokta y ekseni üzerinde işaretlenerek a > 0 ise grafiğin kolları yukarı doğru a < 0 ise kollar aşağı doğru çizilir.

2. YOL: Yukarıdaki açıklamaya göre y = x2 – 4 fonksiyonunun grafiğinin tepe noktas T(0 -4) tür. a = 1 > 0 olduğundan grafik yandaki gibidir.

4. y = x2 – 2x fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen fonksiyonda a = 1 b = -2 ve c = 0 dır.
Tepe noktasının koordinatları;
olduğundan tepe noktası T(1. -1) dir.

x = 0 için y = 02 – 2.0 = 0  Grafik y eksenini (0. 0) noktasında keser.
y = 0 için x2 – 2x = 0  x(x – 2) = 0 x1 = 0 v x2 = 2
Grafik x eksenini (0 0) ve (2 0) noktalarında keser.
Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.

y = ax2 + bx + c parabolünde c = 0 ise grafik orijinden geçer.

5. y = 2(x – 1)2 – 8 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

y = a(x – r)2 + k biçiminde ifade edilen fonksiyonların grafiklerinin tepe noktası T(r. k) idi.
O halde; y = 2(x – 1)2 – 8 fonksiyonunun tepe noktası; T(1 - dir.
x = 0 için y = 2(0 – 1)2 – 8 = -6 ise grafik y eksenini (0 6) noktasında keser.
x1 = -1
y = 0 için 2(x – 1)2 – 8 = 0  2(x – 1)2 = 8  x – 1 = 2
x2 = 3
Grafik x eksenini (-1 0) ve (3 0) noktalarında keser.
Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.

6. y = x2 +2x-1 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen fonksiyonda a = x-1 b = 2 ve c = -1 dir.

Tepe noktası T(1 0) dır.
x = 0 için y = -1 ise grafik y ekseni (0 -1) de keser.
y = 0 için x2 + 2x-1 = 0 (x-1)2 = 0 x1 = x2 = 1

Grafik ş eksenine (1 0)noktasında teğettir. Niçin?

Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.

y = 0 ax2 + bx + c parabolümde ax2 + bx + c = 0 denkleminin eşit iki kökü varsa yani  = 0 ise parabol tepe noktasında ş eksenine teğettir.

a<0 ise; a>0 ise;

7. y = x2-2x + 5 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen denklemde a = 1 b = -2 c = 5 tir.

Tepe noktası T (1 4) tür.

x = 0 için y = 5 ise grafik y ekseni (0 5) noktasında keser.
y = 0 için x2-2ş + 5 0  = 4 - 4.5 = -16<0 gerçek kök yoktur. Grafik x eksenini kesmez.

Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.

y = ax2 + bx + c parabolünde ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri yoksa yani <0 ise grafik x eksenini kesmez.

a>0 ise; a<0 ise;

8. Yanda grafiği verilen
y = mx2 + x +2 fonksiyonu
P(2 1) noktasından geçiyor
ise m'yi bulalım.

P noktasının koordinatları verilen fonksiyon denklemini sağlar. Yani
y = -mx2 + x + 2
1 = m . 22 + 2 + 2 4m = 3 bulunur.

İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GÖRÜNTÜ KÜMESİNİN
EN BÜYÜK VEYA EN KÜÇÜK ELEMANINI BULMA

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmiştik. Şimdi bu grafikten yararlanarak fonksiyonun en küçük veya en büyük elemanını bulalım.

a>0 ise;

Grafikte görüldüğü gibi x değişkeni ya kadar artarken y fonksiyonu dan ya kadar azalmaktadır. x değişkeni doğru artmaya devam ederken y fonksiyonu da a doğru artmaktadır. Yani y'nin en küçük değerini olarak aldığı grafikte açık olarak görülmektedir.
Bu değere fonksiyonun görüntü kümesinin en küçük (minimum) değeri denir.

a>0 olmak üzere y = a2 + bx + c fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük değeri tepe noktasının ordinatıdır.

Yani dır. En büyük değeri yoktur.

a<0 ise;

Grafiğe dikkat edilirse x değişkeni (-) dan ya kadar artarken y fonksiyonu (-) dan ya kadar artmaktadır. x değişkeni dan (+) doğru artmaya devam ederken y fonksiyonu dan (-) a doğru azalmaktadır. Yani y nin en büyük değerini olarak aldığı grafikte açık olarak görülmektedir. Bu değere fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük (maksimum) değeri denir.

O halde; a < 0 olmak üzere y = ax2 + bx + c fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük değeri tepe noktasının ordinatıdır.

Yani k = dır. En küçük değeri yoktur.

ÖRNEKLER

1. y = 2x2 + x – 2 fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük değerini bulalım.

Verilen fonksiyonda a = 2 b = 1 c = - 2 dir.
a = 2 > 0 olduğundan fonksiyonunun görüntü kümesini en küçük değeri k= dır.
K = olur.

2. y = -x2 + 4x + 2 fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük değerini bulalım.

Verilen fonksiyonda a = 1 b = 4 ve c = 2 dir.
a = -1 < 0 olduğundan fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri dır.
olur.

3. f(x) = -4x2 + 2x + 1 – 2m fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük değeri 4 ise m yi bulalım.

Verilen fonksiyonda a = -4 b = 2 ve c = 1-2m dir.
a = -4 < 0 olduğundan fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri k dır. O halde k = 4 olmalıdır.

k = 4  = 4 
 -16 + 32m – 4 = -64
 32m = -44  m = - olur.

4. y = -2(x – 1)2 + 5 fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük değerini bulalım.

a = -2 < 0 olduğundan fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri k dır.
y = -2(x – 1)2 + 5 fonksiyonunda k = 5 olduğundan istenilen değer 5 olur.

İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN TEMSİL ETTİĞİ PARABOLÜN SİMETRİ EKSENİNİ BULMA

y = ax2 parabolünün simetri ekseninin x = 0 doğrusu olduğunu görmüştük.
y = ax2 + bx + c fonksiyonunun y = biçiminde yazılabildiğini daha önce göstermiştik. Burada diyelim ve x1 değerini bu eşitlikle yerine yazalım.
elde edilir.

Yukarıdaki grafiğe dikkat ederseniz bu grafiğin kollarının x = doğrusuna göre simetrik olduğunu görürsünüz. İşte bu x = doğrusuna y = ax2 + bx + c parabolünün SİMETRİ EKSENİ denir.

ÖRNEKLER

1. y = 2x2 – 4x + 3 parabolünün simetri eksenini bulalım.

Verilen fonksiyonda a = 2 b = -4 olup x = dir.
O halde x = 1 doğrusu simetri eksenidir.

2. y = 4x2 – 3 parabolünün simetri eksenini bulalım.

Verilen fonksiyonda a = 4 b = 0 olup x = dır.
O halde x = 0 doğrusu (y ekseni) simetri eksenidir.

• y = ax2 ve y = ax2 + c parabollerinin simetri eksenleri x = 0 doğrusu yani y eksenidir.
• y = a(x-r)2 ve y = a(x-r)2 + k parabollerinin simetri eksenleri x = r doğrusudur.

3. y = (3m – 1)x2 – 4mx + 1 parabolünün simetri ekseni x = 3 doğrusu ise m kaçtır?

Verilen fonksiyonda a = 3m – 1 ve b = -4m dir.
Simetri ekseni x = 3 doğrusu ise;
bulunur.

EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARIN KOORDİNATLARI VERİLEN BİR PARABOLÜN DENKLEMİNİ BULMA

x eksenini (p 0) ve (q 0) y ekseninide (0 n) noktasında kesen parabolün denklemini bulalım.

x eksenini kesen noktaların apsisi aradığımız denklemin kökleridir. O halde kökleri bilinen 2. dereceden denklemin yazılışını hatırlarsak bu denklem;

a[x2 – (x1 + x2).x + (x1.x2)] = 0 biçiminde idi. Dolayısıyla aradığımız parabolün denklemi;
y = a[x2 – (p + q) x + p.q] olur. (1)

Ayrıca grafik (0 n) noktasından geçtiği için bulduğumuz (1) eşitliğini sağlar. Yani x = 0 alınırsa y = n olur. Bu değerleri yerine yazarsak a yı bulur ve parabolün denklemi olan y = ax2 + bx + c yi elde ederiz.

2. YOL: Aradığımız denklem y = ax2 + bx + c dir. Bu denklem grafiğin üzerindeki üç noktayı da sağlayacağından bu noktaların bileşenleri yerine yazılarak 3 denklem elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümü ile a b c bulunur ve yerine yazılırsa istenilen denklem bulunmuş olur.

GRAFİĞİNİN TEPE NOKTASI İLE HERHANGİ BİR NOKTASININ KOORDİNATLARI VERİLDİĞİNDE PARABOLÜN DENKLEMİNİ BULMA

Tepe noktası T(r k) olan ve y eksenini (0 n) noktasında kesen parabolün denklemini bulalım.

Grafiğinin tepe noktası T(r k) olan ikinci dereceden y = ax2 + bx + c fonksiyonunun y = a(x – r)2 + k biçiminde yazılabildiğini öğrenmiştik. Ayrıca grafik (0 n) noktasından geçtiği için bu nokta y = a(x – r)2 + k denklemini sağlar. Yani x = 0 için y = n alınarak a değeri bulunabilir.

ÖRNEKLER

1. Aşağıda grafiği verilen parabolün denklemini bulalım.

Parabolün tepe noktası olan T(2 -2) y = a(x – r)2 + k bağıntısını sağlar.
y = a(x – r)2 + k (r = 2 k = -2 yazalım.)
y = a(x – r)2 – 2 bulunur. (I)

Ayrıca grafik (0 3) noktasından geçtiği için bu nokta (I) bağıntısını sağlar.
y = a(x – 2)2 – 2 (x = 0 y = 3 yazalım)
3 = a(0 –2)2 – 2  3 = 4a – 2  a = O halde aradığımız. Denklem;
tür.

2. Aşağıda grafiği verilen parabolün denklemini bulalım.

Tepe noktası olan T(-1 2) y=a(x – r)2 + k bağıntısını sağlar.
y = a(x – r)2 + k (r = -1 k = 2 yazalım)
y = a(x + 1)2 + 2 bulunur. (I)
Ayrıca grafik (0 0) noktasından geçtiği için bu nokta (I) bağıntısını sağlar.
y =a(x + 1)2 + 2 (x = 0 y = 0 yazalım)
0 = a(0 + 1)2 + 2  0 = a + 2  a = -2 bulunur. O halde aranılan denklem;
y = -2(x + 1)2 + 2 dir.

3. Aşağıda grafiği verilmiş olan parabolün denklemini bulalım.

Tepe noktası olan T(1 0) y = a(x – 1)2 + k bağıntısını sağlar.
y = a(x – r)2 + k (r = 1 k = 0 yazalım)
y = a(x – r)2 + 0 bulunur. (I)
Ayrıca grafik (0 2) noktasından geçtiği için bu nokta (I) bağıntısını sağlar.
y = a(x – r)2 (x = 0 y = 2 yazalım)
2 = a(0 – 1)2  a = 2 bulunur. O halde aradığımız denklem; y = 2(x – 1)2 dir.

y = ax2 + bx +c fonksiyonunun grafiği x eksenine teğet ise ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskirminantı sıfırdır.

ÖRNEKLER

1. y = x2 – (m – 2)x + 4 parabolü x eksenine teğet ise m değerlerini bulalım.

Verilen parabol x eksenine teğet olduğundan
x2 – (m – 2)x + 4 = 0 denkleminde =0 dır.
= b2 – 4ac = [-(m – 2)]2 – 4 . 1 . 4 = m2 – 4m + 4 – 16 = m2 – 4m – 12
= 0  m2 – 4m – 12 = 0  m1 = 6 v m2= -2 dir.

2. y = mx2 + (2m – 1)x + m + 2 parabolünün x eksenine teğet olması için m kaç olmalıdır?

mx2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0 denkleminde = 0 olmalıdır.
= (2m –1)2 – 4m(m + 2) = 4m2 – 4m – 4m + 1 –4m2 – 8m
= -12m + 1
= 0  -12m + 1 = 0  m = bulunur.